Polynômes et fractions rationnelles en Première : factoriser, étudier un signe, réussir l’épreuve

Depuis juin 2026, les élèves de Première passent une épreuve anticipée de mathématiques de 2 heures, sans calculatrice, notée sur 20 : 6 points d’automatismes et 14 points d’exercices, selon Éduscol. Factoriser un polynôme du second degré ou étudier le signe d’un quotient fait partie de ce qui doit se faire vite et à la main.

Le programme de spécialité de Première centre l’algèbre sur les fonctions polynômes du second degré : forme factorisée, forme canonique, discriminant, signe. Les fractions rationnelles apparaissent quand on étudie le signe d’un quotient ou qu’on simplifie une expression. Voici la méthode et six exercices corrigés, tous faisables sans calculatrice.

Ce que demande l’épreuve anticipée de mathématiques

L’épreuve dure 2 heures, se passe sans calculatrice et comporte une première partie d’automatismes sur 6 points et une seconde partie de deux ou trois exercices sur 14 points. Il existe des sujets différents selon que l’élève suit ou non la spécialité mathématiques et selon la voie, comme le précisent Éduscol et Service-Public.fr.

Élément	Ce qui est prévu
Durée	2 heures
Calculatrice	interdite
Partie 1	automatismes, 6 points : QCM en juin 2026, questions à réponses courtes à partir de juin 2027 (session 2028)
Partie 2	exercices, 14 points
Coefficient	2

Parmi les automatismes de Première, le programme cite « Déterminer les solutions d’une équation produit nul », « Déterminer le signe d’une expression du premier degré, d’une expression factorisée du second degré » et « Développer, factoriser, réduire une expression algébrique simple ».

Factoriser un polynôme du second degré

Pour f(x) = ax² + bx + c avec a ≠ 0, on calcule Δ = b² − 4ac : si Δ > 0, f(x) = a(x − x₁)(x − x₂) ; si Δ = 0, f(x) = a(x − x₀)² ; si Δ < 0, f ne se factorise pas dans ℝ.

Le programme demande de diversifier les stratégies : racine évidente, somme et produit des racines (x₁ + x₂ = −b/a et x₁x₂ = c/a), identités remarquables, et seulement ensuite le discriminant.

Situation	Stratégie la plus rapide
c = 0	mettre x en facteur
a + b + c = 0	x = 1 est racine ; l’autre vaut c/a
forme a2 − b2	identité remarquable
aucun raccourci visible	discriminant

Exercice 1

Factoriser f(x) = 2x² − 3x − 2.

Corrigé : Δ = 9 + 16 = 25, donc x₁ = (3 − 5)/4 = −1/2 et x₂ = (3 + 5)/4 = 2. f(x) = 2(x + 1/2)(x − 2) = (2x + 1)(x − 2).

Exercice 2

Factoriser g(x) = x² − 5x + 4 sans discriminant.

Corrigé : 1 − 5 + 4 = 0, donc 1 est racine ; le produit des racines vaut c/a = 4, l’autre racine est 4. g(x) = (x − 1)(x − 4).

Exercice 3

Trouver deux nombres dont la somme vaut 7 et le produit 12.

Corrigé : ce sont les racines de x² − 7x + 12 = (x − 3)(x − 4) : 3 et 4.

Forme canonique et signe

La forme canonique f(x) = a(x − α)² + β donne directement l’extremum ; la forme factorisée donne directement le signe : a(x − x₁)(x − x₂) est du signe de a à l’extérieur des racines et du signe opposé entre elles.

Exercice 4

Écrire h(x) = x² − 6x + 5 sous forme canonique et donner son minimum.

Corrigé : x² − 6x + 5 = (x − 3)² − 9 + 5 = (x − 3)² − 4. Le minimum vaut −4, atteint en x = 3.

Exercice 5 (type automatisme)

Sur quel intervalle (x − 3)(2 − x) est-il positif ?

Corrigé : (x − 3)(2 − x) = −(x − 2)(x − 3), coefficient dominant −1 : l’expression est positive entre les racines, sur [2 ; 3].

Fractions rationnelles : signe et simplification

Pour étudier le signe d’un quotient P(x)/Q(x), on factorise numérateur et dénominateur, on exclut les valeurs qui annulent Q, puis on dresse un tableau de signes.

Exercice 6

Étudier le signe de k(x) = (x² − 4)/(x − 1) et simplifier r(x) = (x² − 1)/(x² + x).

x	−∞ à −2	−2 à 1	1 à 2	2 à +∞
x2 − 4	+	−	−	+
x − 1	−	−	+	+
k(x)	−	+	−	+

Corrigé : x² − 4 = (x − 2)(x + 2) s’annule en −2 et 2 ; x = 1 est valeur interdite. k est positive sur ]−2 ; 1[ et sur ]2 ; +∞[. Pour r : (x² − 1)/(x² + x) = (x − 1)(x + 1)/(x(x + 1)) = (x − 1)/x pour x ≠ 0 et x ≠ −1. Les valeurs interdites restent celles de l’expression de départ.

Approfondissement : le troisième degré

Le programme propose en approfondissement de factoriser un polynôme du troisième degré admettant une racine. Exemple : p(x) = x³ − 2x² − 5x + 6. Comme p(1) = 0, p(x) = (x − 1)(x² − x − 6) = (x − 1)(x − 3)(x + 2).

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Sources officielles: Éduscol, épreuve anticipée de mathématiques · Service-Public.fr, épreuve anticipée de mathématiques · Programme de spécialité de mathématiques de Première. Sources consultées le 12 novembre 2026.

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